介值定理

介值定理说明连续函数能够取到两个函数值之间的任意中间值。

定理内容

介值定理

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，则对于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意数 $C$，至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = C$。

几何意义

介值定理的几何意义是：连续函数在闭区间上的图像能”连接”两个端点的函数值。

证明思路

1. 构造辅助函数：设 $g(x) = f(x) - C$
2. 应用零点定理：$g(a) \cdot g(b) < 0$
3. 利用零点定理：存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $g(\xi) = 0$
4. 得出结论：$f(\xi) = C$

应用例子

例子 1：方程求解

问题：证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在 $(0, 1)$ 内有解。

解：

• 设 $f(x) = x^3 - 3x + 1$
• $f(0) = 1 > 0$，$f(1) = -1 < 0$
• 函数在 $[0, 1]$ 上连续
• 0 介于 $f(0)$ 和 $f(1)$ 之间
• 根据介值定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ 使 $f(\xi) = 0$

例子 2：三角函数

问题：证明函数 $f(x) = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上能取到 $\frac{1}{2}$。

解：

• $f(0) = 0$，$f(\frac{\pi}{2}) = 1$
• 函数在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上连续
• $\frac{1}{2}$ 介于 $f(0) = 0$ 和 $f(\frac{\pi}{2}) = 1$ 之间
• 根据介值定理，存在 $\xi \in (0, \frac{\pi}{2})$ 使 $f(\xi) = \frac{1}{2}$

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练习题

练习 1

设 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续，$f(0) = 1, f(2) = 5$，证明存在 $\xi \in (0, 2)$ 使 $f(\xi) = 3$。

参考答案

解题思路：利用介值定理。

详细步骤：

1. $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续
2. $f(0) = 1 < 3 < 5 = f(2)$
3. 3 介于 $f(0)$ 和 $f(2)$ 之间
4. 根据介值定理，存在 $\xi \in (0, 2)$ 使 $f(\xi) = 3$

答案：存在 $\xi \in (0, 2)$ 使 $f(\xi) = 3$。

练习 2

证明方程 $x^3 - x - 1 = 0$ 在 $(1, 2)$ 内有解。

参考答案

解题思路：利用介值定理（零点定理）。

详细步骤：

1. 设 $f(x) = x^3 - x - 1$
2. $f(1) = -1 < 0$，$f(2) = 5 > 0$
3. 0 介于 $f(1)$ 和 $f(2)$ 之间
4. 根据介值定理，存在 $\xi \in (1, 2)$ 使 $f(\xi) = 0$

答案：方程在 $(1, 2)$ 内有解。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\xi$	希腊字母	Xi（克西）	中值定理或介值定理中的某一点
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示角度

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
介值定理	intermediate value theorem	/ɪntəˈmiːdiət ˈvæljuː ˈθɪərəm/	闭区间上连续函数能取到任意中间值的定理
中间值	intermediate value	/ɪntəˈmiːdiət ˈvæljuː/	介于两个值之间的值

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