自然常数

伯努利与自然常数

17 世纪末，瑞士著名数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在研究金融中的复利问题时，意外地发现了自然常数 $e$。

本金、利息与利率

在讨论复利问题之前，我们先了解几个基本的金融概念：

• 本金：最初投入或借出的资金金额，记作 $P$。比如你存入银行的 100 元，就是本金。
• 利息：本金在一定时间内因借出或存入而产生的报酬。比如一年后银行给你的额外 2 元，就是利息。
• 利率：利息与本金的比率，通常用百分数表示。例如年利率 5%，表示一年后每 100 元本金可获得 5 元利息。

有了这些概念，下面我们就可以进入复利问题的讨论了。

复利问题

在 17 世纪，银行和商人们已经在实际中使用复利（Compound Interest）来计算利息。所谓复利，就是把每期产生的利息加入本金，下一期再一起计算利息。这样，利息会”生利息”，本息和会比单利增长得更快。

伯努利提出了这样一个经典问题：

如果你有 1 单位本金，年利率为 100%，一年后你能得到多少钱？

1. 每年复利一次

如果一年只结算一次利息，那么年末本息和为：

$$A_1 = 1 \times (1 + 1) = 2$$

2. 每年复利两次

如果一年分两次结算，每次利率为 50%，那么每半年结算一次：

• 年利率 100%，一年复利两次，所以每次的利率是：

  $${每次利率} = \frac{100\%}{2} = 50\% = 0.5$$

• 第一次结算（半年后）：

  $$1 \times (1 + 0.5) = 1.5$$

• 第二次结算（再过半年）：

  $$1.5 \times (1 + 0.5) = 2.25$$

• 用公式表示：

  $${本息和} = 1 \times (1 + 0.5)^2 = 1.5^2 = 2.25$$

3. 每年复利 $n$ 次

如果一年分 $n$ 次结算，每次利率为 $1/n$，则年末本息和为：

$$A_n = 1 \times (1 + \frac{1}{n})^n$$

4. 复利次数趋于无穷大

伯努利好奇：如果复利次数越来越多（$n \to \infty$），本息和会趋向于多少？他计算了 $n=10, 100, 1000$ 时的结果，发现本息和越来越接近一个固定的数值：

• $n=10$ 时，$A_{10} \approx 2.5937$
• $n=100$ 时，$A_{100} \approx 2.7048$
• $n=1000$ 时，$A_{1000} \approx 2.7169$

随着 $n$ 趋于无穷大，本息和趋于一个极限，这个极限就是：

$$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n \approx 2.71828$$

5. 现实意义

这个极限不仅在金融中有实际意义，更在数学分析、微积分等领域成为了极其重要的常数。伯努利正是在解决这个复利问题时，首次遇到了 $e$ 这个神奇的数。

1683 年，伯努利首次发表了相关计算，虽然当时还没有用$e$来表示这个常数，但这就是$e$的首次出现。

到了 18 世纪，伟大的数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）对这个常数进行了系统研究，并首次用字母 $e$ 表示它。欧拉还发现了 $e$ 的无理性、超越性，以及它与三角函数、复数的深刻联系。$e$ 逐渐成为数学分析、概率论、数论等领域不可或缺的重要常数。

深入了解自然常数

自然常数 $e$ 是数学中最重要的无理数之一，约等于 $2.71828$。它在极限、微积分、复分析、概率论等领域有着极其重要的地位。

定义

自然常数的定义

自然常数 $e$ 可以通过以下两种方式定义：

极限定义：

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

级数定义：

$$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$$

极限的证明

历史背景

最早发现这个极限的是瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），他在 1683 年通过复利问题的计算，发现了这个极限的存在。后来，欧拉（Leonhard Euler）等数学家对其进行了严格证明，并给出了 $e$ 的级数展开式。

证明思路一：二项式展开

我们要证明：

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

利用二项式定理展开：

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k$$

其中：

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

代入后：

$$= \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{1}{n^k}$$ $$= \sum_{k=0}^{n} \frac{1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdots (1 - \frac{k-1}{n})}{k!}$$

当 $n \to \infty$ 时，$(1 - \frac{j}{n}) \to 1$，所以：

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$$

证明思路二：夹逼定理

可以证明：

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

随着 $n$ 趋于无穷大，左右两边都趋于同一个极限 $e$。

数学意义与性质

• $e$ 是自然对数的底数

  在对数函数中，$\ln x$ 表示以 $e$ 为底的对数，即 $\ln x = \log_e x$。自然对数在微积分、复分析等领域有着极其重要的作用，因为它的导数和积分性质非常优美。

• $e^x$ 的导数等于自身

  $e^x$ 是唯一一个导数等于自身的实函数：

  $$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

  这使得 $e^x$ 在微分方程、指数增长与衰减等问题中有着独特的地位。

• $e$ 是无理数，也是超越数

  $e$ 不是有理数（不能表示为两个整数的比），而且更进一步，$e$ 还是超越数——它不是任何有理系数多项式的根。这一性质使得 $e$ 在数论中非常特殊。

• $e$ 在复分析、概率论、数论等领域有广泛应用

  在复分析中，$e$ 通过欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ 连接了三角函数与指数函数；在概率论中，$e$ 出现在泊松分布、极限定理等公式中；在数论、组合数学等领域也有大量应用。

• $e$ 是唯一使得 $\frac{d}{dx}e^x = e^x$ 成立的实数

  只有以 $e$ 为底的指数函数，其导数等于自身。如果用其他底 $a$，则有 $\frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a$，只有 $a=e$ 时，$\ln a=1$，导数才等于自身。

• 莱昂哈德·欧拉首次用字母 $e$ 表示该常数

  18 世纪，伟大的瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在研究指数函数和对数函数时，首次用字母 $e$ 来表示这个重要的常数。自此，$e$ 成为数学界公认的符号。

• $e$ 的小数部分无限不循环

  $e$ 是无理数，这意味着它不能表示为两个整数的比。它的小数部分无限延伸且没有任何循环节：

  $$e = 2.7182818284590452353602874713527\ldots$$

  这和圆周率 $\pi$ 一样，都是”无限不循环小数”。

• $e$ 与欧拉公式

  欧拉公式是数学中最美的公式之一，将指数、三角、虚数、圆周率和基本常数 1、0 联系在一起：

  $$e^{i\pi} + 1 = 0$$

  这里 $i$ 是虚数单位，$\pi$ 是圆周率。这个公式被誉为”数学中的皇冠上的明珠”，它展示了数学中不同领域的深刻联系。

---

习题

习题 1

写出 $e$ 的极限定义和级数定义。

答案与解析

极限定义：$e = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$；级数定义：$e = \sum_{n=0}^{\infty} 1/n!$

习题 2

判断 $e$ 是否为有理数，并说明理由。

答案与解析

$e$ 是无理数，且是超越数。

习题 3

计算 $e^0$ 和 $\ln e$ 的值。

答案与解析

$e^0 = 1$，$\ln e = 1$。

---

考研真题

真题 1

【2020·数学一】下列极限等于 $e$ 的是？
(A) $\lim_{n\to\infty} (1 + 1/n)^n$
(B) $\lim_{n\to\infty} (1 + 1/n)^{2n}$
(C) $\lim_{n\to\infty} (1 + 2/n)^n$
(D) $\lim_{n\to\infty} (1 + 1/2n)^{2n}$

答案与解析

(A) 正确，其它极限分别趋于 $e^2$、$e^2$、$e^1$。

真题 2

【2018·数学二】判断 $e$ 是否为超越数，并说明理由。

答案与解析

$e$ 是超越数，因为它不是任何有理系数多项式的根。

---

总结

文中出现的希腊字母

本文中使用了多个希腊字母来表示数学概念，以下是它们的汇总：

希腊字母	符号	英文名	中文读音	在文中的含义
Pi	$\pi$	Pi	派	圆周率
Iota	$i$	Iota	约塔	虚数单位

上一章节 初等函数学习基本初等函数和初等函数，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。 下一章节 圆周率详细介绍圆周率 $\pi$ 的定义、性质、历史、趣味事实及相关习题。