利用积分中值定理 积分中值定理可以用于估计定积分的值。 积分中值定理的应用 积分中值定理：设 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上连续，则存在 ξ∈[a,b]\xi \in [a, b]ξ∈[a,b]，使得：∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a) 应用例子 例子：估计 ∫01e−x2dx\int_0^1 e^{-x^2} dx∫01e−x2dx 的值 解： 由于 e−x2e^{-x^2}e−x2 在 [0,1][0,1][0,1] 上连续且单调递减 根据积分中值定理，存在 ξ∈[0,1]\xi \in [0,1]ξ∈[0,1]，使得 ∫01e−x2dx=e−ξ2\int_0^1 e^{-x^2} dx = e^{-\xi^2}∫01e−x2dx=e−ξ2 由于 e−1≤e−ξ2≤e0e^{-1} \leq e^{-\xi^2} \leq e^0e−1≤e−ξ2≤e0，所以 0.368≤∫01e−x2dx≤10.368 \leq \int_0^1 e^{-x^2} dx \leq 10.368≤∫01e−x2dx≤1 上一章节 利用分部积分法 课程路线图 1高等数学之函数探秘 先修课程 函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。 前往课程 2数列 先修课程 数列是高等数学的基石，本系列文档系统介绍数列的基本概念、性质、极限理论及其应用。 前往课程 3高等数学之极限的世界 先修课程 极限是微积分的基础，也是高等数学中最重要的概念之一。 前往课程 4高等数学之连续 先修课程 连续性知识点的完整学习指南，包含基本概念、间断点分类、初等函数连续性等。 前往课程 5一元函数微分学 先修课程 一元函数微分学的完整学习指南，包含学习路径、核心概念、常见错误和学习建议。 前往课程 6一元函数积分学 当前课程 学习不定积分与定积分的理论和计算，并应用于几何与物理问题。 前往课程 下一站 数学考研大纲与真题探索函数、极限、微积分等核心概念，为科学与工程领域奠定坚实的数学基础。 开始学习
