常见应用

掌握定义与导数性质后，最重要的是多做例题。以下例子展示了“积分上限函数求导”在不同场景下的基本思路。

基本应用

例子 1：设 $F(x) = \int_0^x \sin t \, dt$，求 $F'(x)$

解：直接使用 $F'(x)=f(x)$，可得 $F'(x) = \sin x$。

例子 2：设 $F(x) = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt$，求 $F'(x)$

解：将被积函数视为 $f(t)=\frac{1}{t}$，所以 $F'(x) = \frac{1}{x}$。

复杂应用

例子 3：设 $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt$，求 $F'(x)$

解：$F'(x) = e^{-x^2}$，即使被积函数无法求原函数，也能直接得到导数。

例子 4：设 $F(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} \, dt$，求 $F'(x)$

解：$F'(x) = \frac{\sin x}{x}$。只要被积函数在积分上限处有意义，导数仍然存在。

这些例题强调：“积分上限函数的导数 = 被积函数在上限处的取值”，无论被积函数是否容易积分，求导都非常直接。

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