积分学的基本思想

问题

想象你是一个 17 世纪的数学家，面临一个看似简单的问题：如何计算一个不规则图形的面积？

比如：

• 一个弯曲的河流围成的区域面积
• 一个不规则的花园面积
• 一个复杂形状的土地面积

当时人们已经知道：

• 矩形面积 = 长 × 宽
• 三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2
• 圆形面积 = π × 半径 ²

但是，如何计算不规则图形的面积呢？

数学家的突破

有一天，数学家们发现了一个神奇的现象：

如果把不规则图形分成很多很窄的矩形条，那么：

1. 每个矩形条的面积 = 高度 × 宽度
2. 总面积 = 所有矩形条面积的和
3. 当矩形条越来越窄时，近似值越来越接近真实面积

这样，就可以用简单的矩形来计算复杂图形的面积！

矩形条数量：16

调整矩形条的数量，观察如何将不规则图形分割成矩形条来计算面积。

当矩形条越来越窄时，近似面积越来越接近真实面积。

如何计算矩形条的总面积

现在让我们来看看具体如何计算这些矩形条的总面积。

步骤 1：分割区间

首先，我们将 x 轴上的区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个等宽的小区间：

• 每个小区间的宽度：$\Delta x = \frac{b-a}{n}$
• 第 $i$ 个小区间：$[x_{i-1}, x_i]$，其中 $x_i = a + i \cdot \Delta x$

步骤 2：计算每个矩形条的面积

对于第 $i$ 个矩形条：

• 宽度：$\Delta x$
• 高度：$f(x_i)$（函数在该点的值）
• 面积：$A_i = f(x_i) \cdot \Delta x$

步骤 3：求和得到总面积

所有矩形条的总面积就是：

矩形条近似面积公式

$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x$

这个公式表示：

• $S_n$：使用 $n$ 个矩形条时的近似面积
• $\sum_{i=1}^{n}$：求和符号，表示从第 1 个到第 $n$ 个矩形条求和（读作”从 i=1 到 n 求和”）
• $f(x_i) \cdot \Delta x$：每个矩形条的面积

步骤 4：取极限得到精确面积

当矩形条数量 $n$ 趋向于无穷大时（即 $\Delta x$ 趋向于 0），近似面积 $S_n$ 趋向于真实面积：

积分学的核心公式

$\text{真实面积} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x$

积分学的核心思想

• 当矩形条数量增加时，近似面积越来越接近真实面积
• 最终，当矩形条无限细时，我们就得到了精确的面积值
• 这就是积分学的核心思想：用无限多个无限小的矩形来逼近复杂图形的面积

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示将多个数相加
$\sum_{i=1}^{n}$	求和表达式	从 i=1 到 n 求和	将 i 从 1 到 n 的所有项相加
$\lim$	符号	limit（极限）	表示极限
$\lim_{n \to \infty}$	极限表达式	n 趋向于无穷大时的极限	当 n 越来越大时的极限值
$\Delta x$	符号	Delta x	表示 x 的变化量或增量
$[a, b]$	区间	闭区间	包含端点 a 和 b 的区间

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
积分	integral	/ˈɪntɪɡrəl/	求面积的数学运算
求和	summation	/sʌˈmeɪʃən/	将多个数相加
极限	limit	/ˈlɪmɪt/	无限接近某个值
矩形	rectangle	/ˈrektæŋɡəl/	四边形，对边相等且平行
面积	area	/ˈeəriə/	平面图形所占的大小
区间	interval	/ˈɪntərvəl/	数轴上两点之间的部分
逼近	approximation	/əˌprɒksɪˈmeɪʃən/	接近、趋近

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