无理函数积分

无理函数积分通常使用代换法消去根式。

代换法

例子

例子 1：$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

解：

• 设 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$dx = 2u du$
• $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int \frac{1}{u} \cdot 2u du = \int 2 du = 2u + C = 2\sqrt{x} + C$

例子 2：$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} dx$

解：

• 设 $x = \sec t$，则 $dx = \sec t \tan t dt$
• $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \tan t$
• $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} dx = \int \frac{1}{\sec t \cdot \tan t} \cdot \sec t \tan t dt = \int dt = t + C = \arccos \frac{1}{x} + C$