其他重要准则

解题思路： 利用子数列准则，找到两个收敛于不同极限的子数列。

详细步骤：

1. 取子数列 $\{x_{2n}\}$：$x_{2n} = (-1)^{2n} = 1$，极限为 1

2. 取子数列 $\{x_{2n-1}\}$：$x_{2n-1} = (-1)^{2n-1} = -1$，极限为 -1

3. 由于存在两个收敛于不同极限的子数列，原数列发散

答案：数列发散。

解题思路： 利用有界性准则，证明数列无界。

详细步骤：

1. 对于任意正数 $M$，取 $N = \lceil M \rceil + 1$

2. 当 $n > N$ 时，$x_n = n > N > M$

3. 因此数列无界

4. 由有界性准则的逆否命题，数列发散

答案：数列发散。

解题思路： 利用定义证明数列收敛。

详细步骤：

1. 对于任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil$

2. 当 $n > N$ 时，$|x_n - 0| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \leq \varepsilon$

3. 因此 $\lim x_n = 0$

答案：数列收敛于 0。

解题思路： 先求极限，然后利用保号性准则。

详细步骤：

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} = 1 > 0$

2. 由保号性准则，存在 $N$，使得当 $n > N$ 时，$x_n > 0$

3. 因此数列从某一项开始都是正数

答案：极限为正数，数列从某一项开始都是正数。

解题思路： 利用子数列准则，找到收敛于不同极限的子数列。

详细步骤：

1. 取子数列 $\{x_{4n}\}$：$x_{4n} = \sin(2n\pi) = 0$，极限为 0

2. 取子数列 $\{x_{4n+1}\}$：$x_{4n+1} = \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 1$，极限为 1

3. 由于存在两个收敛于不同极限的子数列，原数列发散

答案：数列发散。