准则选择指南

在实际应用中，如何选择合适的极限存在准则是一个重要问题。本指南将帮助您根据具体情况选择最合适的准则。

准则选择策略

何时使用夹逼准则

适用情况：

• 函数被其他函数”夹住”
• 直接计算极限比较困难
• 函数有振荡性质
• 涉及三角函数的有界性

典型例子：

• $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$
• $\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}$
• $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$

何时使用单调有界准则

适用情况：

• 数列有明显的单调性
• 数列有界
• 无法直接求出极限
• 数列有递推关系

典型例子：

• $x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
• $x_n = \frac{n}{n+1}$
• $x_n = \sqrt[n]{n}$

何时使用柯西准则

适用情况：

• 数列的单调性不明显
• 需要证明收敛性但无法求出极限
• 数列有复杂的递推关系
• 数列涉及无理数或超越数

典型例子：

• $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$
• $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}$

何时使用子数列准则

适用情况：

• 需要证明数列发散
• 数列有明显的周期性
• 可以找到收敛于不同极限的子数列

典型例子：

• $x_n = (-1)^n$
• $x_n = \sin \frac{n\pi}{2}$

何时使用有界性准则

适用情况：

• 需要证明数列发散
• 数列明显无界
• 数列趋向于无穷

典型例子：

• $x_n = n$
• $x_n = n^2$
• $x_n = 2^n$

综合应用

复杂问题的解决策略

1. 首先分析数列/函数的性质

   • 是否有明显的单调性？
   • 是否有界？
   • 是否有周期性？

2. 尝试直接计算极限

   • 如果可以，直接计算
   • 如果困难，考虑使用准则

3. 选择合适的准则

   • 根据数列/函数的特征选择
   • 可能需要组合使用多个准则

4. 验证结果

   • 检查计算是否正确
   • 验证结论是否合理

练习题

练习 1

对于数列 $x_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + n}$，应该使用哪个准则？为什么？

参考答案

解题思路： 分析数列的特征，选择合适的准则。

详细步骤：

1. 分析数列特征：

   • $x_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + n} = 1 - \frac{n-1}{n^2 + n}$
   • 当 $n$ 增大时，$\frac{n-1}{n^2 + n}$ 减小
   • 因此数列单调递增

2. 证明有上界：

   • $x_n = 1 - \frac{n-1}{n^2 + n} < 1$

3. 选择准则：

   • 由于数列单调递增且有上界，应使用单调有界准则

答案：应使用单调有界准则，因为数列单调递增且有上界。

练习 2

对于极限 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$，应该使用哪个准则？为什么？

参考答案

解题思路： 分析函数特征，选择合适的准则。

详细步骤：

1. 分析函数特征：

   • $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时振荡
   • 但 $\sin$ 函数有界：$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$

2. 构造夹逼不等式：

   • $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$

3. 选择准则：

   • 由于函数被其他函数”夹住”，应使用夹逼准则

答案：应使用夹逼准则，因为函数被有界函数夹住。

练习 3

对于数列 $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$，应该使用哪个准则？为什么？

参考答案

解题思路： 分析数列特征，选择合适的准则。

详细步骤：

1. 分析数列特征：

   • 数列单调递增（每项都是正数）
   • 但单调性不明显
   • 无法直接求出极限

2. 考虑柯西准则：

   • 可以证明数列满足柯西条件
   • 这是证明收敛性的有效方法

3. 选择准则：

   • 应使用柯西收敛准则

答案：应使用柯西收敛准则，因为数列单调性不明显且无法直接求极限。

练习 4

对于数列 $x_n = (-1)^n$，应该使用哪个准则？为什么？

参考答案

解题思路： 分析数列特征，选择合适的准则。

详细步骤：

1. 分析数列特征：

   • 数列在 1 和 -1 之间振荡
   • 有明显的周期性

2. 构造子数列：

   • 偶数项：$x_{2n} = 1$，极限为 1
   • 奇数项：$x_{2n-1} = -1$，极限为 -1

3. 选择准则：

   • 由于存在收敛于不同极限的子数列，应使用子数列准则

答案：应使用子数列准则，因为可以找到收敛于不同极限的子数列。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\{x_n\}$	数学符号	数列	表示一个数列
$f(x)$	数学符号	函数	表示一个函数
$\lim$	数学符号	极限	表示函数或数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷大

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
夹逼准则	squeeze theorem	/skwiːz ˈθɪərəm/	通过两个函数夹住目标函数求极限
单调有界准则	monotone bounded theorem	/ˈmɒnətəʊn ˈbaʊndɪd ˈθɪərəm/	判断数列收敛性的准则
柯西收敛准则	Cauchy convergence criterion	/ˈkoʊʃi kənˈvɜːdʒəns kraɪˈtɪəriən/	判断数列收敛性的准则
子数列准则	subsequence criterion	/ˈsʌbˌsiːkwəns kraɪˈtɪəriən/	判断数列收敛性的准则
有界性准则	boundedness criterion	/ˈbaʊndɪdnəs kraɪˈtɪəriən/	判断数列收敛性的准则
保号性准则	sign-preserving property	/saɪn prɪˈzɜːvɪŋ ˈprɒpəti/	极限的符号保持性质
单调递增	monotone increasing	/ˈmɒnətəʊn ɪnˈkriːsɪŋ/	数列或函数值逐渐增大
单调递减	monotone decreasing	/ˈmɒnətəʊn dɪˈkriːsɪŋ/	数列或函数值逐渐减小
有界	bounded	/ˈbaʊndɪd/	存在上下界的性质
无界	unbounded	/ʌnˈbaʊndɪd/	不存在上下界的性质

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