夹逼准则

夹逼准则是求解极限的重要方法，特别适用于直接计算困难的极限。通过构造两个已知极限的函数来”夹逼”目标函数，从而求出极限值。

几何意义

从图中可以看出，蓝色曲线 $g(x) = x \sin \frac{1}{x}$ 被红色虚线 $f(x) = -|x|$ 和绿色虚线 $h(x) = |x|$ 夹在中间。当 $x \to 0$ 时，上下两条边界曲线都趋向于 0，因此被夹在中间的 $g(x)$ 也必然趋向于 0。

基本原理

夹逼准则

如果对于所有 $x$ （在某个去心邻域内），都有：

$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$

并且：

$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$

那么：

$\lim_{x \to a} g(x) = L$

适用条件

1. 直接计算困难

函数形式复杂
无法使用常规方法
涉及三角函数、指数函数等

2. 可以构造不等式

能够找到上界和下界
上界和下界的极限相等

3. 常见情况

含有 $\sin x$ 、 $\cos x$ 的函数
含有 $x \sin \frac{1}{x}$ 的函数
含有 $x \cos \frac{1}{x}$ 的函数

构造技巧

夹逼准则常用不等式

1. 利用三角函数的有界性

$-1 \leq \sin x \leq 1$ $-1 \leq \cos x \leq 1$

2. 利用绝对值

$\vert x \vert \geq 0$

3. 利用基本不等式

$x^2 \geq 0$ $e^x > 0$

典型例题

例题 1

求极限 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$

参考答案

解题思路：这是一个直接计算困难的极限，可以使用夹逼准则。

详细步骤：

分析函数特点：
- 当 $x \to 0$ 时， $x \to 0$
- $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡
- 无法直接计算
构造不等式：
- 由于 $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$
- 所以 $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$
求边界函数的极限：
- $\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0$
- $\lim_{x \to 0} |x| = 0$
应用夹逼准则：
- 由于 $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$
- 且 $\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$
- 所以 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

答案： $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

例题 2

求极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$

参考答案

解题思路：这是一个 $\frac{0}{\infty}$ 型不定式，可以使用夹逼准则。

详细步骤：

分析函数特点：
- 当 $x \to \infty$ 时，分母 $x \to \infty$
- 分子 $\sin x$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡
构造不等式：
- 由于 $-1 \leq \sin x \leq 1$
- 所以 $-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$
求边界函数的极限：
- $\lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{x}) = 0$
- $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
应用夹逼准则：
- 由于 $-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$
- 且 $\lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
- 所以 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

答案： $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

练习题

练习 1

求极限 $\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x}$

参考答案

解题思路：这是一个直接计算困难的极限，可以使用夹逼准则。

详细步骤：

分析函数特点：
- 当 $x \to 0$ 时， $x^2 \to 0$
- $\cos \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡
构造不等式：
- 由于 $-1 \leq \cos \frac{1}{x} \leq 1$
- 所以 $-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2$
求边界函数的极限：
- $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$
- $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$
应用夹逼准则：
- 由于 $-x^2 \leq x^2 \cos \frac{1}{x} \leq x^2$
- 且 $\lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$
- 所以 $\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0$

答案： $\lim_{x \to 0} x^2 \cos \frac{1}{x} = 0$

练习 2

求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}$

参考答案

解题思路：这是一个 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可以使用夹逼准则。

详细步骤：

化简表达式： $\frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = x \sin \frac{1}{x}$
分析函数特点：
- 当 $x \to 0$ 时， $x \to 0$
- $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 之间振荡
构造不等式：
- 由于 $-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$
- 所以 $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$
求边界函数的极限：
- $\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0$
- $\lim_{x \to 0} |x| = 0$
应用夹逼准则：
- 由于 $-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$
- 且 $\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$
- 所以 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

答案： $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = 0$

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