数列极限的运算法则

数列极限的运算法则与函数极限类似，但数列只在离散的点上定义，因此有其特殊性。

基本运算法则

数列极限的运算法则

设 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$，$\lim_{n \to \infty} y_n = B$，其中 $A$ 和 $B$ 都是有限数，则：

1. 加法法则：$\lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = A \pm B$

2. 乘法法则：$\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = A \cdot B$

3. 除法法则：$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B}$（其中 $B \neq 0$）

4. 幂运算法则：$\lim_{n \to \infty} x_n^k = A^k$（其中 $k$ 为正整数）

与函数极限的关系

数列可以看作是定义在正整数集上的函数，因此数列极限是函数极限的特殊情况。

如果 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$，则 $\lim_{n \to \infty} f(n) = A$。

但反过来不一定成立：$\lim_{n \to \infty} f(n) = A$ 不能推出 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$。

例子

函数 $f(x) = \sin(\pi x)$：

• 数列极限：$\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi) = 0$（因为 $\sin(n\pi) = 0$ 对所有整数 $n$）
• 函数极限：$\lim_{x \to \infty} \sin(\pi x)$ 不存在（因为函数在 $[-1, 1]$ 之间振荡）

应用例子

例子 1

计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n}$

解： $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n}\right) = 2 + 0 = 2$

例子 2

计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n}{n^2 + 1}$

解： $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3n}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

例子 3

计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n}$

解： $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{6}{n^3} = 0$

特殊数列的极限

常见数列极限

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

2. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$（$k > 0$）

3. $\lim_{n \to \infty} a^n = 0$（$|a| < 1$）

4. $\lim_{n \to \infty} a^n = \infty$（$a > 1$）

5. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

6. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$（$a > 0$）

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练习题

练习 1

计算极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 2}{2n + 1}$。

参考答案

解题思路：分子分母同除以 $n$。

详细步骤：

1. $\frac{3n + 2}{2n + 1} = \frac{3 + \frac{2}{n}}{2 + \frac{1}{n}}$

2. $\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 2}{2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{3 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$

答案：极限值为 $\frac{3}{2}$。

练习 2

计算极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n}$。

参考答案

解题思路：分子分母同除以 $n^2$。

详细步骤：

1. $\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n} = \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{1}{n}}$

2. $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{1 + 0 + 0}{1 - 0} = 1$

答案：极限值为 1。

练习 3

计算极限 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2}\right)$。

参考答案

解题思路：先求和，再求极限。

详细步骤：

1. $\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2} = \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{n+1}{2n}$

2. $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}$

答案：极限值为 $\frac{1}{2}$。

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总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$n$	数学符号	正整数	表示数列的项数
$x_n$	数学符号	数列	表示数列的第 $n$ 项
$\lim$	数学符号	极限	表示数列的极限
$\to$	数学符号	趋向于	表示变量趋向于某个值
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷大

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
数列	sequence	/ˈsiːkwəns/	按一定顺序排列的数的集合
数列极限	limit of sequence	/ˈlɪmɪt əv ˈsiːkwəns/	数列趋向的值
正整数	positive integer	/ˈpɒzətɪv ˈɪntɪdʒə/	大于零的整数
离散	discrete	/dɪˈskriːt/	不连续的，分离的

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